ALJABAR BOOLEAN

A

ljabar Boolean merupakan cara yang ekonomis untuk menjelaskan fungsi rangkaian digital, bila fungsi yang diinginkan telah diketahui, maka aljabar boolean dapat digunakan untuk membuat implementasi fungsi tersebut dengan cara yang lebih sederhana. Ekspresi Boolean Adalah pernyataan logika dalam bentuk aljabar Boolean.

FUNGSI BOOLEAN

Tabel 1. Rumus – rumus pada aljabar Boolean

No.	AND	OR	KETERANGAN
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.	(A.B).C = A.(B.C) A .B = B .A (A+B).(A+C)=A+(B.C) A.O = O A.A =   A A.A=  O A   =  A A.O=  O A .1 =   A A.(A + B ) = A	(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A (A.B)+(A.C)=A(B+C) A+1= 1 A+A=A A+ A=1 A = A A + O = A A + 1 = 1 A + (A.B) = A	Hk.Asosiatif Hk.Komutatif Hk.Distributif Hk.Identitas Hk.Idempoten Hk.Inversi/Negasi Hk.Negasi Ganda Hk.Hubungan Dgn Suatu Konstanta Hk.Absorbsi

Contoh :
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y

2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y

3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X)’

= X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z

= X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)

= X.Y + X’.Z

KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD

Adalah menyatakan suatu persamaan dalam hubungan operasi AND atau OR antar variabel secara lengkap pada setiap suku. Dan antar suku dihubungkan dengan operasi OR atau AND.

Tabel 2. Bentuk Minterm dan Maxterm untuk 3 variabel biner

X	Y	Z	Minterm		Maxterm
			Term	Designation	Term	Designation
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	x’y’z’ x’y’z x’yz’ x’yz xy’z’ xy’z xyz’ xyz	m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7	x+y+z x+y+z’ x+y’+z x+y’+z’ x’+y+z x’+y+z’ x’+y’+z x’+y’+z’	M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

M I N T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR.
Contoh :
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam minterm
Jawab :
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C

suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’

suku kedua  BC  = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C

Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C

Adalah : F  = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C
= m7 + m6 + m5 + m4 + m1

Atau dapat ditulis dengan notasi
F (ABC) = ? (1,4,5,6,7)

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

A	B	C	F
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 1 1 1

M A X T E R M

Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.
Contoh :
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam Maxterm.
Jawab :
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributif
F = XY + X’Z = (XY + X’) (XY + Z)
= (X + X’) (Y + X’) (X + Y) (X + Z)
= (X’ + Y) (X + Z) (Y + Z)

Untuk suku 1
(X’+ Y) = X’+ Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’)
(X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)

Jadi dapat ditulis
F (XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’)
= M0.M2.M4.M5

Atau ditulis dengan notasi
F (XYZ) = ? (0,2,4,5)

Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.

A	B	C	F
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 1 0 0 1 1

IMPLEMENTASI DEMORGAN DALAM RANGKAIAN LOGIKA

Hukum De Morgan :

(A + B)’ = A’ . B’       ó        A + B = (A’ . B’)’
(A  . B)’ = A’ + B’       ó        A . B  = (A’ + B’)’